Δίλημμα των φύλων

Στη Θεωρία Παιγνίων, το Δίλημμα των Φύλων είναι παίγνιο συντονισμού των κινήσεων-στρατηγικών που διαθέτουν δύο παίκτες όταν παίζουν το παίγνιο ταυτόχρονα.

Υποθετικό Σενάριο

Τυγχάνει σε μια κωμόπολη να συμπίπτει ένας αγώνας μποξ με μια όπερα ως εναλλακτικές μορφές ψυχαγωγίας. Ένα ζευγάρι συμφωνεί να παρακολουθήσει το βράδυ μια από τις δύο παραστάσεις. Συμφωνούν να συναντηθούν στο μέρος της παράστασης μόλις τελειώσει ο άντρας την εργασία του στο κέντρο της πόλης. Όταν έρχεται η ώρα να συναντηθούν, δε θυμούνται που ακριβώς. Ο άντρας προτιμάει το μποξ και η γυναίκα προτιμάει την όπερα. Πρέπει να αποφασίσουν ανεξάρτητα ο καθένας τους και χωρίς καμιά επικοινωνία που να πάνε.

Περιγραφή του Παιγνίου

Το παίγνιο έχει δύο αμιγείς στρατηγικές, Μποξ και Όπερα για το κάθε παίκτη, Γυναίκα (παίκτης 1) και Άντρας (παίκτης 2), με αποδόσεις ως στον Πίνακα 1. Και οι δύο προτιμούν οποιαδήποτε από τις δύο αυτές ισορροπίες από το να μη βρεθούν μαζί και να μη παρακολουθήσουν την οποιαδήποτε παράσταση. Η πρώτη καταχώρηση απόδοσης σε κάθε κελί αφορά τον παίκτη 1 και η άλλη τον παίκτη 2. Και οι δύο προτιμούν οποιαδήποτε από τις δύο αυτές ισορροπίες από το να μη βρεθούν μαζί και να μη παρακολουθήσουν την οποιαδήποτε παράσταση. Γι' αυτό και οι αποδόσεις των συνδυασμών Μποξ-Όπερα και Όπερα-Μποξ είναι μηδενικές. Τον Πίνακα 1 γενικεύει ο Πίνακας 2, όπου Sij είναι η στρατηγική j του παίκτη i, i, j=1,2, η διάρθρωση των αποδόσεων για τον παίκτη 1 είναι d>a>b και d>a>c, και η διάρθρωση αποδόσεων για τον 2 είναι w>z>y και w>z>x. Ο κάθε παίκτης επιλέγει να παίξει την αποδοτικότερη στρατηγική του υποθέτοντας ότι το ίδιο θα κάνει κι ο άλλος παίκτης. Δηλαδή, η ορθολογικότητα των παικτών αποτελεί κοινή γνώση.

Πίνακας Αποδόσεων 1

		Άντρας
		Μποξ	Όπερα
Γυναίκα	Μποξ	1,2	0,0
	Όπερα	0,0	2,1

Πίνακας Αποδόσεων 2

		Παίκτης 2
		S21	S22
Παίκτης 1	S11	a,w	b,x
	S12	c,y	d,z

Επίλυση

Υπάρχουν δύο ισορροπίες σε όρους αμιγών στρατηγικών: Μποξ-Μποξ, που προτιμάει ο Άντρας, και Όπερα-Όπερα, που προτιμάει η γυναίκα. Μπορεί όμως να παίξουν έτσι ώστε να μην συναντηθούν. Ενδείκνυται επομένως η χρήση μεικτών στρατηγικών − η ισορροπία σε όρους τέτοιων στρατηγικών είναι μοναδική. Η πιθανότητα να πάει ο Άντρας ή η Γυναίκα στη προτιμώμενη παράσταση είναι ίση με την αντίστοιχη απόδοση, 2, δια του συνόλου των αποδόσεων, που είναι ίσο με $2+1=3$. Και εφόσον ${\frac {2}{3}}$ είναι πιθανότητα να πάει στη προτιμώμενη παράσταση, ${\frac {1}{3}}$ είναι η πιθανότητα να πάει στη παράσταση που προτιμάει το άλλο μέλος του ζευγαριού, διότι το άθροισμα των πιθανοτήτων πρέπει να ισούται με τη μονάδα. Έτσι, η πιθανότητα να συναντηθούν, η πιθανότητα συντονισμού των κινήσεων είναι $p={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {4}{9}}$. Στο γενικότερο παίγνιο, η πιθανότητα να παιχθεί η κάθε στρατηγική είναι για την S11, ${\frac {a+b}{a+b+c+d}}$, για την S12, $1-{\frac {a+b}{a+b+c+d}}={\frac {c+d}{a+b+c+d}}$, για την S21, ${\frac {w+y}{w+y+x+z}}$, και για την S22, $1-{\frac {w+y}{w+y+x+z}}={\frac {x+z}{w+y+x+z}}$. Συνεπώς, η πιθανότητα συντονισμού σε μια από τις δύο ισορροπίες, S11-S21 και S12-S22, είναι, $q={\frac {a+b}{a+b+c+d}}\cdot {\frac {w+y}{w+y+x+z}}+{\frac {c+d}{a+b+c+d}}\cdot {\frac {x+z}{w+y+x+z}}$.